コーヒーフレッシュを舐めてすぐにどうなるということはありません。
コーヒーポーションも同様です。
乳製品が使われている場合、乳糖不耐性の愛犬・愛猫はＮＧです。
コーヒーフレッシュは、乳製品（大抵は脱脂粉乳）をベースに、植物油と水を加えて作られているのがほとんどです。
植物油と水の他に、乳化剤、増粘多糖類、色素、香料が加えられています。コーヒーフレッシュは、添加物だらけだと言う専門家もいます。
参考記事
｢野菜ジュース｣の成分は“満足感”だけ！
コーヒーフレッシュ
コーヒーポーション
愛犬・愛猫が「コーヒーフレッシュ」を舐めても大丈夫？
乳製品・卵